상태 공간 모형 기반의 로컬 레벨 모형 및 시계열 구조화 모형

로컬 레벨 모형(Local Level Model)

• 랜덤워크 모형에 관측잡음이 추가된 것으로 랜덤워크 과정을 따르는 단변수 상태변수 𝜇𝑡를 가짐
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• 로컬레벨 모형 = >ARIMA 모형 
• 로컬레벨 모형은 ARIMA(0,1,1)의 다른 표현

ARIMA 모형과의 차이점:

• ARIMA(0,1,1)이 아닌 로컬 레벨 모형을 사용하는 이유는 다음과 같이 이유와 가정 때문
• 요약하자면 y = 랜덤워크 + 잡음 이라 이것이 항상 랜덤워크 모형을 따르지는 않는데, 잡음이 추가 됐으므로 확실하지 않다는 이야기  
  • 우리가 관심을 가지는 값은 어떤 이유에 의해 반드시 랜덤 워크 모형을 따라야 한다.
  • 그런데 시계열 자료 𝑌𝑡는 랜덤 워크 모형을 따르지 않는다. (ARIMA(0,1,1) 모형을 따름)
  • 그러므로 시계열 자료 𝑌𝑡는 우리가 원하는 랜덤 워크 𝜇𝑡에 관측 잡음이 더해진 걸로 가정하자.
  • 이제 변경된 풀어야 하는 문제는 시계열 자료 𝑌𝑡를 사용하여 랜덤 워크 모형을 따르는, 잡음을 제거한 원래의 값 𝜇𝑡이다.

위의 에시처럼 빨간색의 관측데이터에서 실제의 움직인 위치가 녹색 즉 state value이고 이것을 잡아내서 X로 쓸 수 있을 것이다 라는 의미

결국 가중치 튜닝을 통해 녹색(X)을 통해 빨간색(Y)을 정확하게 예측 할 수 있기에 파라미터 튜닝을 함

또 빨간색(Y)을 통해 녹색( X,state value)을 예측 할 수도 있음 

 

로컬 선형 레벨 모형

랜덤 워크 모형의 관측값이 다시 누적된 것으로 랜덤워크 과정을 따르는 단변수 상태변수 𝛽𝑡를 가짐

로컬 선형 레벨 모델 -> ARIMA 모델과 유사  ( 로컬 선형 모델 = ARIMA(0,2,2) )

 

 

상태 공간 모형 기반의 시계열 구조화 모형

 

개별적 동적 특성(Dynamics, Transition Equation)을 정의할 수 있는 성분의 합 등으로 구성된 모형을 구조적 모형 또는 구조화 모형(Structural Model) 

• 로컬 선형추세 모형에서 볼 수 있듯 상태공간모형의 장점은 실제로 관측된 하나의 시계열 자료로 부터 복수의 상태변수 시계열자료를 추정할 수 있다는 점
• 각각의 상태변수가 동적특성(Dynamics), 즉 상태 전이식(State Transition Equantion)에 대한 가정 필요
• 하나의 시계열 자료가 실제 여러개의 보이지 않는 성분들(Unobserved Components)이 합쳐진 것이라고 가정하고 각각의 성분을 추정하는 것이 가능(시계열 성분분리 가능)
• 각 성분의 동적특성을 이미 알거나 가정해야 하며 각 동적 특성이 구별가능할 정도로 충분이 달라야 함
• 보이지 않는 성분을 추정하는 모형이므로 Unobserved Component 모형이라고도 불림
• 예시: 시계열 = 추세성분 + 계절성성분 + ARMA성분
• 구조화 모형은 VAR(multi variate)의 비선형과 비슷한 컨셉

트렌드 ,시즈널을 제외하고 모든 것을 ARMA로 표현할 수 있음 (A_t -> AR , MA term) 
식의 frame 은 VAR모형 -> T S A * VAR(1) (백색잡음)  ->이런식의 frame으로 추정하겠다 라는 것이 구조화 모형

구조화 성분에 포함된 것들 

1. 추세(Trend) 성분
2. 계절성(Seasonal) 성분
3. 주기적(Cycle) 성분
4. AR(Autoregressive) 성분
5. 회귀(Regression) 성분

 

1) 추세 성분 : 로컬레벨 모델이나 로컬선형 추세 모델도 추세성분 모델의 일종

           - 구조화 모델에서는 아래의 3개 트렌드중에 하나로 설정을 해주는 형식
          - 아래 레벨,결정론추세,확률론적 추세는 어떤 걸 쓰냐에 따라 수식이 달라질 수 있음

 

• 레벨 모형

• 결정론적 추세

• 확률론적 추세

2) 계절성 (Seasonality) 성분 : 주기가 명확한 성분

• 분기/월/요일/시간 등에 결정되는 반복적 요소는 계절성 성분, 주기적(Cyclical) 성분과는 구분됨
• 주기내의 값이 원래 일정(Level or Flat)해야 하는 것이 주기성에 의해 흔들린다고 보는 것
• 계절성 성분은 한 주기 내 각 성분의 합이 0이 되는 모형을 사용하며, 여기에 추가적으로 가우시안 잡음이 더해질 수 있음
• 예시: 4개의 계절성을 가지는 경우

3) 주기적 (Cycle) 성분 : 주기가 명확하지 않거나 크기가 일정하지 않은 성분

• 모수 람다_c를 가지는 하모닉 상태 변수 쌍(pair)으로 모형화가 가능
• 만약 p_c가 1보다 작으면 점차 감소하는(damped) 주기적 성분

4) AR 성분 : 일반적인 AR(p) 성분모형도 상태 변수 형태로 변환 가능

5) 회귀 성분 : 내부 이노베이션 과정을 입력으로 가지는 것이 아니라 외부(Exogenous)입력 신호를 선형 회귀식 형태로 가지는 성분